Lösen von Exponentialgleichungen                                                                                   

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Vorwissen

 

Potenzieren

Wurzelziehen

Logarithmieren

23 = 8

=  = 2

log2(8) = 3

Suche nach dem Wert einer Potenz,

Suche nach der Basis,

Suche nach dem Exponenten,

wenn Basis und Exponent gegeben sind

die mit dem Exponenten potenziert werden muss

Mit dem die Basis potenziert werden muss

 

 

Beispiel:

102 = 100

 

Basis und Exponent bekannt,

Potenzwert 100 bekannt und

Potenzwert 100 bekannt und

Potenzwert gesucht:

Lösung: 102 = 10 * 10 = 100

Basis gesucht, die mit 2 potenziert 100 ergibt:

Lösung: = 10

Exponent gesucht, mit dem Basis 10 potenziert werden muss, um 100 zu erhalten:

Lösung: log10 (100) = 2, da 102  = 100

 

 

Definition:

Der Logarithmus zur Basis b einer gegebenen Zahl a ist der Exponent c, mit dem man die Basis b potenzieren muss, um a zu erhalten:

 

logb(a) = c   ó   bc = a

 

d.h. blogb(a) = bc = a

d.h. blogb heben sich gegenseitig auf

 

Häufige Logarithmen:

Zehner- oder dekadischer Logarithmus (log oder lg) zur Basis 10

Natürlicher Logarithmus zur Basis e (ln)

 

Rechenregeln für den Logarithmus:

 

  1. logb (u * v) = logb(u) + logb(v)    und    logb (u : v) = logb(u) – logb(v) ,

d.h. „aus multiplizieren wird addieren“

 

2.   logb(an) = n * logb(a)    und    logb = * logb (a) ,

      d.h. „ aus potenzieren wird multiplizieren“

 

  1. logb (x) =  ,

d.h. mit dem natürlichen Logarithmus zur Basis e (ln) lassen sich die Logarithmen zu allen beliebigen Basen berechnen

Lösen von Exponentialgleichungen

 

Aufgabe 1:

Lösen Sie die Gleichung: 5x = 125

d.h. mit welcher Zahl muss 5 potenziert werden, damit sich 125 ergibt


Lösung:

-    Zerlegung in Primfaktoren: 125 = 5 * 25 = 53                                            oder

-    gesucht: log5 (125) =  = = 3,000062135             oder

-         logarithmieren der Gleichung führt zu:

log(5x) = log(125) / Logarithmenregel („potenzieren wird zu multiplizieren“)

                 x * log(5) = log(125) / :log(5)

x =  = = 2,999856938

 

 

            Aufgabe 2:

Lösen Sie die Gleichung: 3x-1 = 9

 

Lösung:

-    argumentativ: 9 = 32, also: x – 1 = 2, d.h. x = 3

-         logarithmieren der Gleichung führt zu:

log(3x-1) = log(9)    / Logarithmenregel („potenzieren wird zu multiplizieren“)

(x-1) * log(3) = log(9)  / :log(3)

x-1 = log(9) : log(3)

x-1 = 0,9542 : 0,4771

x-1 = 2

x = 3

 

 

            Aufgabe 3:

            Lösen Sie die Gleichung: 0,5x = 2x+1

 

            Lösung:

-         logarithmieren der Gleichung führt zu:

log(0,5x) = log(2x+1) / Logarithmenregel („potenzieren wird zu multiplizieren“)

x * log(0,5) = (x+1) * log(2)   /: log(0,5) /: (x+1)

x : (x+1) = log(2) : log(0,5)

x : (x+1) = 0,3010 : (-0,3010)

x : (x+1) = -1  / *(x+1)

x = - (x+1)

x +x = -1

x = - 0,5