Aufgabe:
1. Zeichnen Sie mit
Derive die Funktionsgraphen zu:
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f(x) |
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2x |
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3x |
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5x |
2. Um die
Wachstumsgeschwindigkeit (momentane Änderungsrate von Wachstumsfunktionen)
berechnen zu können, wird die Ableitung von Exponentialfunktionen ax
benötigt.
Lassen Sie von Derive
die Ableitungsterme zu den obigen Funktionstermen berechnen und zeichnen.
Tragen Sie die Ableitungsterme in die Tabelle ein.
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f(x) |
f’(x) |
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2x |
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3x |
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5x |
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ax |
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Was fällt
auf? Wie lautet der Ableitungsterm zu ax?
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3. Kann
es eine Funktion geben, deren Ableitungsfunktion wieder den gleichen Term hat,
d.h. f(x) = ax und f’(x) = ax?
Hinweise:
- f’(x) =
ln(a) * ax oder
-
Beobachtung: Manche Graphen
abgeleiteter Exponentialfunktionen liegen oberhalb beziehungsweise unterhalb
der Ausgangsfunktionen.
Nutzen Sie das
Java-Applet unter:
http://www.mathe-online.at/galerie/log/n_EulerscheZahl.html mit der Fragestellung:
Welche Lage müsste
der Graph einer Exponentialfunktion, deren Ableitung mit der Ausgangsfunktion
übereinstimmt, zur Geraden t mit t(x) = x + 1 haben?
4. Die
Berechnung der Ableitung von f mit f(x) = ax mit Hilfe des
Differenzenquotienten können Sie in L-S, S. 207 nachlesen.
5.
Weitere Möglichkeiten zur Herleitung der Eulerschen Zahl e finden Sie im
Textteil zum obigen Java-Applet oder im L-S, S. 207 unten.