Mathewörterbuch
Kurs
LK 1. Folgen
1.1. Definitionen von Begriffen
Begriff Begriffserklärung
Folge Wenn eine Funktion f als Definitionsmenge die Menge der natürlichen Zahlen N hat oder eine unendliche Teilmenge von N,
so nennt man f eine Zahlenfolge. Der Funktionswert f(n) wird mit (an) bezeichnet und heißt das n-te Glied der Folge. Für die Funktion f schreibt man (an).
Nullfolge Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder an sich (für wachsendes n) immer mehr  dem Wert Null nähern (klassisches Beispiel: an=1/n)
Grenzwert Der Grenzwert g einer Folge, stellt den Bereich im Koordinatensystem dar, dem sich bei wachsendem n die Folgenglieder nähern.
Definition: Eine Zahl g heißt Grenzwert der Zahlenfolge (an), wenn bei Vorgabe irgendeiner positiven Zahl E(Epsilon) fast alle Folgenglieder die Ungleichung I an-g I < E (Epsilon) erfüllen.
Fast alle bedeutet dabei, dass es nur endlich viele Ausnahmen gibt.
Nicht jede Folge hat einen Grenzwert. Siehe S. 18 Beispiel 2, Zusammenfassung von ETH-Zürich.
Folgen, die einen Grenzwert haben, nennt man konvergente Folgen.
Folgen ohne Grenzwert nennt man divergente Folgen.
Eine Zahlenfolge kann höchstens einen Grenzwert haben.
Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, dann ist sie auch konvergent.
Bemerkung: Zum Nachweis, dass fast alle Folgenglieder an die Ungleichung
I an - g I < E erfüllen, muss man nur eine Nummer ( also N (E) ) , angeben können, ab der alle Folgenglieder  die Ungleichung erfüllen.
Man schreibt für den Grenzwert g einer Zahlenfolge (an) kurz g = lim an  ( gelesen: g ist der Limes von an für n gegen unendlich) oder auch  an -> g für n -> oo (gelesen : an geht gegen g für n gegen unendlich).
                                                     n -> oo
E (Epsilon) Die erste Zahl n, ab der die Differenz zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert g kleiner ist als Epsilon, nennt man N(Epsilon)
Epsilon ist der Bereich um den Grenzwert.
Epsilon ist eine Folge in der Folge.
1.2. Eigenschaften von Folgen
1. monoton steigend , ist eine Zahlenfolge (an), wenn für alle Folgenglieder a(n+1)>= an gilt
monoton fallend , ist eine Zahlenfolge (an), wenn für alle Folgenglieder a(n+1) <= an gilt
Bemerkung: das Wort streng wird vorangestellt, wenn das Gleichheitszeichen nicht gilt
2. nach oben beschränkt, ist eine Zahlenfolge, wenn es eine Zahl S gibt,  so dass für alle Folgenglieder an <= S gilt
nach unten beschränkt, ist eine Zahlenfolge, wenn es eine Zahl s gibt, so dass für alle Folgenglieder an>= s gilt
S ist die obere Schranke, s ist eine untere Schranke der Folge,
Eine nach oben und unten beschränkte Folge heißt beschränkte Folge.
LK 1.3. Formeln und Rechenbeispiele
Monotonie Aufgabe: Beispiel: Schrittweise Erklärung Regeln Tipps
und Beschränktheit Untersuchen Sie auf Monotonie (an) mit an =2/n
(Argumentativer und Beschränktheit 2/(n+1) < 2/n da, an+1<an ist, ist diese Folge streng monoton fallend an+1<=an
Nachweis) S =a1=2 Folge ist nach oben beschränkt S>=an Folge zeichnen
s>=0 Folge ist nach unten beschränkt, da kein Glied Wertetabelle
der Folge kleiner als 0 ist
Nachweis der Monotonie Beispiel: Schrittweise Erklärung Regeln da der argumentative Nachweis bei
komplexeren Folgen schwieriger wird kann
man den Nachweis mithilfe der Differenz
mithilfe der Differenz auch durchführen
Folge (an) mit an  (1-2n)/n an+1 - an  <>= 0
a(n+1)-an= (1-2(n+1))/(n+1) - (1-2n)/n
"=(-2n-1)/(n+1) - (1-2n)/n = - 1/ n(n+1) da wir ein negatives Ergebnis erhalten haben, ist diese an+1 - an< 0 Bruchrechnung
Folge streng monoton fallend (siehe Regel)
Berechnung von Aufgabe: Beispiel: Schrittweise Erklärung
E(Epsilon) gegeben ist eine Folge (an) mit an = 1/n
an = 1/n, berechnen Sie ab E(Epsylon) = 0.2
welchem Folgenglied sich die Berechnung: Wir wollen also berechnen, ab welchem Glied:
Folge bis auf 0.2 Einheiten der Null also E < 0.2 1/n < E
E(Epsilon) genähert hat. 1/n < 0,2 Wir stellen die Formel nach n um
Konkret heißt das, ab welchem Folgen- 1/0.2 <n Nun setzen wir für E ein
glied, liegen die Folgenglieder innerhalb n> 5 Wir erhalten
einer E(Epsylon)-Umgebung. Ergebnis: Ab dem 6. Ten Glied sind die Glieder der Folge
an = 1/n kleiner als 0.2
Nachweis eines Aufgabe: Beispiel: Schrittweise Erklärung Regeln Tipps
Grenzwertes Weisen Sie nach, dass 0 der Grenzwert an -> g für n -> oo 1/n ->0 1. Schritt : Wir vermuten, dass der Grenzwert I an-g I < E
der Folge 1/n ist. I 1/n - 0 I < E an-> g für n ->oo 0 ist (ab einem gewissen n alle n)
I 1/n I < E 2. Schritt : einsetzen und auflösen nach n
1/n < E da n > 0 können die Betragstriche wegfallen
1 < n* E
1/E < n das gilt für alle n
n > 1/E 3. Schritt: da n > 1/E ist, gilt I 1/n - 0 I < E ist E = 1/100 und setzt man für n > 100
4. Schritt: wir haben bewiesen, dass 0 der Grenzwert ist dann haben wir : I 1/101 - 0 I < 1/100
weil sich zu jedem konkreten Epsilon ein N angeben lässt, ab dem
alle weiteren Folgenglieder in der E-Umgebung des Grenzwertes liegen
Grenzwertsätze Aufgabe: Beispiel: Schrittweise Erklärung Regeln Tipps
des Rechenweges
Siehe S. 319 L-S Grenzwertbestimmung a(n) = (2-n^3) /(10n^3+n) 1. Schritt: Der 1. Schritt kann auch so formuliert werden
mithilfe der Grenzwertsätze "= (2/n^3 - n^3/n^3) / (10n^3/n^3 - n/n^3) jede Zahl im Zähler und Nenner durch Ausklammern von 1/n im Zähler und Nenner
"= (2/n^3 - 1) /( 10 - 1/n^2) die höchste vorkommende Potenz von n Potenzregel: oder:
für n->oo 2/n^3 -> 0 dividieren a^m / a^n =a ^m-n Man erweitert bei Brüchen Zähler und Nenner mit
für n ->oo  1 = 1 2. Schritt: hier : n/n^3 = n^-2 = 1/n^2 dem Kehrwert der höchst auftretenden Potenz von n.
für n ->oo 10 = 10 einzeln die Grenzwerte der Zahlen ausrechnen
für n ->oo 1/n^2 -> 0 und dabei ausnutzen, dass 1/n, 1/n^2, 1/n^3 usw. immer
gilt: für n gegen oo gegen  0 gehen, so bleiben im
lim n ->oo =  (0-1)/ (10-0) = -1/10 Endeffekt nur die reinen Zahlenwerte übrig.
3. Schritt:
Grenzwert angeben : im Rechenbeispiel ist der
Grenzwert -1/10
GK 2. Die Tangente und ihre Steigung
"Es tangiert mich nur peripher." (Zitat unbekannter Herkunft)
Es geht im Folgenden darum, eine Aussage über eine Funktion, die keine Gerade ist, zu treffen, indem man sich einer Gerade bedient.
Eine Tangente ist nichts anderes als eine Gerade, die eine nicht Gerade, also eine gekrümmte Linie, in nur einem Punkt berührt.
Jede Gerade hat eine Steigung. Kennt jeder, der Auto fährt. Anfahren am Berg wäre kein Bestandteil der Prüfung, wenn alle Straßen g(G)erade(n) wären, mit der Steigung Null.
Geraden lassen sich auf verschiedene Wege mathematisch beschreiben.
Erstmal gibt's die Geradengleichung:
f(x) = mx + b wobei m die Steigung ist,
und b, der sog. y-Achsen-Abschnitt, der Punkt an dem die Gerade die y-Achse schneidet, ergibt sich für x = 0, da dann nur das b übrigbleibt.
y = mx + b da f(x) dem y entspricht, der Funktionswert ist das Stück auf der y-Achse für jedes x, kann man auch folgendes schreiben:
(komme ich später noch drauf zurück)
m ist außerdem  der Differenzenquotient, der sich aus zwei Punkten berechnet, P1 und P2 (vgl. Abb1):
m = (y - y0) / (x - x0) durch Multiplikation mit dem Nenner (x - x0) ergibt das eine weitere Form der Gradengleichung:
(komme ich später auch nochmal drauf zurück)
y - y0 = m * (x - x0)
Wie in Abb.1 zu sehen ist, lässt sich m mit Hilfe des Steigungsdreiecks (grün)
bestimmen.
Da dafür die beiden Punkte P1 und P2 nötig sind, handelt es sich bei der Geraden,
deren Steigung m bestimmt werden kann, um eine Sekante, denn diese scheidet
den Graphen in zwei Punkten.
Die Steigung dieser Sekante entspricht also näherungweise der der Funktion
im Abschnitt zwischen P1 und P2.
Das geht allerdings noch genauer, und zwar so:
2.1. Annäherungsversuche
Bringt man die beiden Punkte P1 und P2 auf die Hälfte ihres vorherigen Abstands zusammen, bekäme man eine genauere Steigung der Funktion.
Man kann das ewig so weiter machen, bis man nicht mehr kann, kann aber auch einfach den Grenzwert dieser Sekantensteigung bestimmen.
Das wäre dann die Tangentensteigung.
Mathematisch gesprochen sieht das so aus:
mt = lim ms              <=>  mt = lim (y - y0) / (x - x0) mt ist die Steigung der Tangente
         x → x0           x → x0 ms ist die Steigung der Sekante
Zu deutsch folgendermaßen:
P1 wird P2 solange angenähert bis die beiden Punkte gleich sind, aber nur theoretisch, da wenn die Punkte identisch wären, könnte man kein Steigungsdreieck mehr erstellen.
(Man sieht das auch am Bruch selbst, wenn x = x0 ist, ist der Nenner Null und damit der Bruch nicht mehr lösbar.)
Übertragen auf den Graph der Funktion, die von der Sekante geschnitten wird, heißt dass, die Steigung der Tangente in dem Punkt P2 (x0 | y0)
entspricht der Steigung der Funktion in diesem Punkt (s. Abb. 1). 
Kleines Beispiel:
gegeben: die Funktion f(x) = x² gesucht: die Steigung an der Stelle x0, also die Steigung der Tangente im Punkt P (x0 | y0)
Es gilt:  mt = lim (y - y0) / (x - x0)            da y = f(x), gilt:    mt = lim (f(x) - f(x0)) / (x - x0) 
                    x → x0              x → x0
Also muss jetzt für f(x) die gegeben Funktion eingesetzt werden, und da wo x0 steht, muss das auch stehen bleiben, sprich: für x wird dann x0 eingesetzt.
d.h. in diesem Bsp.: (ich lass das  x → x0 jetzt mal weg, muss man sich unter jedem lim denken)
mt = lim (x² - x0²) / (x - x0)                                          Zähler so aufarbeiten, dass der Nenner gekürzt werden kann: 3. binomische Formel
  <=> mt = lim ((x + x0) * (x - x0)) / (x - x0)  Nenner kann gekürzt werden
  <=> mt = lim (x + x0)                                           da der Grenzwert für x = x0 berechnet wird (x nähert sich x0 immer mehr an), folgt
  <=> mt = (x0 + x0)
  <=> mt = 2x0
für ein konkretes Bsp., x0 = 2 :
mt = 2x0    mit x0 = 2
  <=> mt = 2*2 = 4
2.1.1. Vielleicht so als kleines Fazit zwischendurch:
Es geht nur um den Grenzwert der Sekantensteigung, der als Tangentensteigung bezeichnet wird.
Wenn man dann im Differenzenquotienten, dessen Grenzwert man bildet, den vorgegebenen Funktionsterm einsetzt, muss man irgendwie
diesen Bruch so umformen, dass ein x0 isoliert wird.
D.h. aber nicht, dass man sich zwangsläufig einen Wolf rechnen muss, vielleicht geht's auch mit genauem  "hingucken" oder überlegen. Dazu ein Beispiel:
Mit f(x) = x erhält man als Differenzenquotient: (x - x0) / (x - x0).
Da kann man nicht besonders viel rechnen, kann aber sehen, dass der Zähler und der Nenner gleich sind.
Und es ist so, dass eine Zahl durch sich selbst geteilt, 1 ergibt. Analog dazu gilt dass auch für identische Ausdrücke.
In diesem Fall aber nur für x ≠ x0. Ergibt also für den Grenzwert des Differenzenqoutienten auch 1.
(vgl. Mathebuch LS S.55)
2.2. Gleichung der Tangente
Ich komme nur auf dieses Thema, weil da mal Aufgaben auf waren, wo es genau darum ging.
Also gleiches Beispiel wie vorhin:
gegeben:  f(x) = x² gesucht: die Steigung der Tangente im Punkt P (x0 | y0)
               x0 = 2               die Gleichung der Tangente
Es gilt:  mt = lim (y - y0) / (x - x0)         
                    x → x0
Wie oben schon gesehen, ergibt die Steigung der Tangente mt = 4. Jetzt kommt die Erklärung, für die oben (Punkt 2) erwähnte Voraussetzung, dass f(x) = y, und die verschiedenen Formen der Geradengleichung.
Und y0 = f(x0) = f(2) = 2² = 4
Nun muss man die Gleichung der Tangente bestimmen.
Man kennt schon die Steigung der Tangente und hat einen Punkt auf dieser Geraden.
Dann kann man nochmal auf den Differenzenquotienten zurückgreifen: Alternative:
mt = (y - y0) / (x - x0) mt ist bekannt, also folgt: y = mx + b
allgemeine Geradengleichung
mt = (y - y0) / (x - x0) = 4 der Punkt P (x0 | y0) ist auch bekannt, nämlich P (2 | 4), muss man dann in die Gleichung einsetzen:
4 = 4 * 2 + b
(y - 4) / (x - 2) = 4 das ergibt ne neue Gleichung, nämlich die zweite Form der Geradengleichung (s. Punkt 2), die nur umgeformt werden muss: bekannt: m = 4 und P(2;4) als Berührpunkt
x und y sind ja nun schon in diesem Term vorhanden, so wie man sich dass von einer anständigen Funktion wünscht.
Und es ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, dem x, denn das y ist von x abhänhig (y = f(x)). Im Prinzip also nichts unmögliches. b = 4-8 = -4
                      => y - 4 = 4 * (x  - 2) | * (x - 2) y = 4x - 4
gesuchte Tangentengleichung
y - 4 = 4x - 8 | ausmultiplizieren
y = 4x - 4 |  y isolieren, also +4
fertig!
Um nicht einer Verwechselung zu unterliegen, schreibt man am Besten für Tangentengleichungen immer t(x)! Dann sieht man direkt was man vor sich hat...
Man kann also mit Hilfe des Grenzwertes vom Differenzenquotienten die Steigung in einem Punkt bestimmen und noch zusätzlich mit der gleichen Formel
(dann aber ohne Grenzwert) eine Geradengleichung errechnen.
Und das alles mit der simplen Formel, die auf dem Steigungsdreieck beruht.
2.3. Gleichung der Normalen
Auch das war ein Teil der Aufgaben, ist aber eigentlich dasselbe in grün.
Dazu muss man nur wissen, was es mit der Normalen (n(x) genannt) auf sich hat:
Die Normale steht immer senkrecht zu einer Tangente in dem Punkt, in dem die Tangente den Graphen einer Funktion berührt.
In Abb. 2 ist der Funktionsgraph nicht da, aber ihr könnt ihn euch denken.
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Ursprung des Koordinatensystems P (0 | 0).
(Nur am Rande, Abb. 2 zeigt zwei zueinander senkrechte Geraden, ohne Tangente und Normale
undsoweiter, die sind dann nur orthogonal (senkrecht zueinander),
macht aber nix, der Sachverhalt ist der Gleiche)
Geht sich jetzt nur darum, zu wissen, wie sich die Steigungen von orthogonalen Geraden verhalten:
die Indizes beziehe ich aber wieder auf das Problem mit den Tangenten und Normalen.
mn = -1 / mt mt : Steigung der Tangente t(x)
mn : Steigung der Normalen n(x)
(Begründung s. Mathebuch LS S.362)
Mit Hilfe dieser kurzen Formel kann man die Steigung der Normalen bestimmen.
Die Gleichung der Normalen ermittelt sich dann genauso, wie die Gleichung der Tangente (Abs. 2.2.), mit der gerade ermittelten Steigung und dem Differenezenquotienten,
in den der gegebene Schnittpunkt eingesetzt wird.
2.3.1. Noch was Interessantes
Nimmt man die Gleichung von oben und multipliziert mit dem Nenner mt, erhält man eine weitere gut zu brauchende Formel:
mn * mt = -1
oder allgemein:
m1 * m2 = -1
d.h. werden die Steigungen von zwei orthogonalen Geraden multipliziert, ergibt ihr Produkt minus eins.
Kann vielleicht dann nützlich sein, wenn mal irgendwann, irgendwie, irgendwo, irgendwelche Aufgaben kommen sollten, wo man beweisen soll,
dass zwei Geraden senkrecht zueinander stehen.
Dann nur die Steigungen multiplizieren und gucken, was rauskommt!
GK 3. Die Ableitungsfunktion
"Jedes Kind braucht einen Namen."
Schaut man im Duden nach, was dieses Wort Ableitung eigentlich bedeutet, stößt man auf folgende Bedeutungen:
Herleitung, Folgerung, Rückführung auf den Ursprung.
Daher ist der Name Ableitungsfunktion auch treffend gewählt, denn es lassen sich aufgrund der Steigung einer Funktion einige
Aussagen treffen (Verlauf, Monotonie, uswusf.).
Aber zunächst ein kleiner Ausflug in die Physik.
3.1. "Ich geb Gas, ich will Spaß"
Wir fahren auf der Autobahn, aufrichtig und rechtsliebend wie wir sind, fahren wir
natürlich mit knapp unter Richtgeschwindigkeit. Fahren also konstant schnell, idealerweise.
D.h. es wird nicht beschleunigt, sonst würden wir ja schneller werden.
Um auf diese Geschwindigkeit gekommen zu sein, müssen wir aber mal beschleunigt haben,
z.B. auf dem Beschleunigungsstreifen. Da hat man dann dem Motor die letzten Reserven entlockt,
um von 60 auf 120 kmh (so oder so ähnlich) beschleunigt zu haben.
Abb. 3 könnte diesen Zustand zwischen x1 und x4 beschreiben.
Die obere Gerade v(t) ist die Geschwindigkeit, abhängig von der Zeit, und zeigt einen
Beschleunigungsvorgang. Darunter ist a(t) die Beschleunigung.
erläuternd sind drei Steigungsdreiecke eingezeichnet.
Betrachtet man das Intervall [x1, x4], kann man die Gerade von v(t) folgendermaßen deuten:
Zwischen x1 und x4 hat man einen konstanten Geschwindigkeitszuwachs.
Dazu werden die Steigungsdreiecke betrachtet:
Die Abschnitte x1-x2, x2-x3, x3-x4 sind gleich groß.
Es ist wichtig, dass die Abstände zwischen den einzelnen x-Werten gleich groß sind,
damit man im Steigungsdreieck eine identische x-Differenz hat.
Denn dann entscheidet nur noch der Zähler des Differenzenquotienten, die y-Differenz,
über die Steigung.
Dadurch lassen sich mehrere Steigungen (Steigungsdreiecke) miteinander vergleichen.
Sieht man sich jetzt die Funktion v(t) an, so sieht man, dass die drei Steigungen (rot, blau, grün)
identisch sind.
Und nichts anderes drückt die Beschleunigungfunktion a(t) aus:
Man hat eine lineare Geschwindigkeitssteigerung, die auf einer konstanten Beschleunigung beruht.
Und das heißt, die Beschleunigung ist die Ableitungsfunktion der Geschwindigkeit.
Die Ableitungsfunktion gibt die Steigung der Ursprungsfunktion wieder, mehr nicht.
Ich glaube, dass ist das wichtigste, was man zur Ableitung sagen muss. Es ist nur ein Begriff, hinter dem sich irgendwie die Steigung versteckt.
3.2. Ableitungsregeln
LK 4. Grenzwert von Funktionen
Analog zum Grenzwert von Folgen, lässt sich auch ein Grenzwert von Funktionen beschreiben:
1. Das Verhalten der Funktion beim Nähern an eine beliebige Zahl x0:
lim f(x) (vgl. die Steigung der Tangente)
x → x0
2. Das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Definitionsbereiches:
lim f(x) (vgl. Grenzwert von Folgen)
x → ± ∞
Und zwar geht das deshalb, weil eine Funktion nichts anderes ist als eine Folge, nur mit einem anderen Definitionsbereich.
Der Definitionsbereich von Folgen waren die Natürlichen Zahlen, die Menge N. Sobald von Funktionen spricht, arbeitet man mit dem Definitionsbereich der Reellen Zahlen,
der Menge R. Das sind alle Zahlen, die
periodische Dezimalzahlen sind (sich als Bruch schreiben lassen),
nicht periodische Dezimalzahlen sind (z.B. Zahl π, Wurzeln),
endliche oder nicht endliche Dezimalzahlen sind
ganze Zahlen sind
4.1. Rationale Funktionen
Es geht erstmal um rationale Funktionen. Dazu folgende Aufstellung:
gebrochen-rational und ganzrational
f(x) = Z(x) / N(x)   mit N(x) ≠ 0     f(x) = Z(x)
Im Prinzip gibt es nur gebrochenrationale Funktionen, da bei ganzrationalen Funktionen gilt: N(x) = 1.
Z(x), N(x) sind Polynome n-ten Grades, d.h. Funktionsterme, die so aussehen:
a1xn + a2xn-1 + … + an-1x + an                        a ist irgendne Zahl, n eine Natürliche Zahl, n-ten Grades, da das erste x n als Potenz hat, also den Grad n.                       
Als Beispiel dasselbe wie im ausgeteilten Blatt (3.1. Verhalten von Fkt…):
gegeben: f(x) = 5x / (x - 5)
zu sehen in Abb. 4.
4.1.1. Grenzwert gegen Unendlich und Asymptote
Schöne Funktion, denn da lässt sich alles dran erklären.
Als erstes hätten wir das Grenzverhalten gegen plus und minus Unendlich.
Für x gegen plus Unendlich nähert sich die Funktion von oben der roten Linie.
Für x gegen minus Unendlich von unten.
Also ist 5 der Grenzwert gegen plus und minus Unendlich.
Lässt sich mathematisch so beweisen:
g = lim f(x) = lim 5x / (x - 5) man teilt jedes Glied des Terms durch 1/x
<=>   g = lim 5 / (1 - 5/x)
<=>   g = 5/(1-0) = 5
Der Term enthält eine Nullfolge für x gegen plus und minus Unendlich und durch Anwendung
der Grenzwertsätze ergibt das den Grenzwert 5 zu beiden Seiten der Definitionsgrenzen.
Aber später mehr zur Grenzwertbestimmung.
Die rote Gerade zeigt also den Grenzwert. Solche Geraden nennt man Asymptoten.
Sie haben die Gleichung y = g.
Nähern sich die Werte einer Funktion einer Zahl für x → ± ∞, hat die Funktion den Grenzwert g.
In diesem Fall nähert sich der Graph dieser Funktion eine Asymptote mit der Gleichung y = g.
4.1.2. Definitionslücken
Ebenfalls in Abb. 4 ist noch eine blaue Gerade, der sich die Funktion nähert, die Gerade ist eine senkrechte Asymptote
Man kann sehen, dass der Nenner " x - 5 " Null wird, bei x = 5. durch Null darf nicht geteilt werden, also ist die Funktion für x = 5 nicht definiert, hat eine Definitionslücke.
Definitionslücken, an denen die Funktionswerte in Richtung Unendlich (plus und/oder minus) streben, nennt man Polstellen.
Es gibt also eine Gerade mit x = a, die parallel zur y-Achse verläuft , wobei a die Definitionlücke ist, der sich der Graph der Funktion annähert.
Die zweite Art der Definitionslücke ist die stetig hebbare Definitionslücke.
Muss man sich so vorstellen, dass die Funktionswerte sich beidseitig einer Zahl nähern, für die die Funktion nicht definiert ist.
So, als wäre ein Loch im Funktionsgraphen.
Daher auch das Wort stetig in dem Begriff, stetig heißt soviel wie kontinuierlich, gleichmäßig verlaufend, weil sich der Graph langsam dem "Loch" nähert.